સાબિત કરો કે તમામ બહુકોણના ગણ $A$ માં વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ અને } P_{2} \text{ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે}\}$ એ સામ્ય સંબંધ છે. $3, 4 \text{ અને } 5$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ $T$ સાથે સંબંધિત $A$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ કયો છે?

(A) સંબંધ $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ અને } P_{2} \text{ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1.$ સ્વવાચકતા: કોઈપણ બહુકોણ $P_{1} \in A$ માટે,$(P_{1}, P_{1}) \in R$ કારણ કે $P_{1}$ ની બાજુઓની સંખ્યા તેની પોતાની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2.$ સંમિતતા: ધારો કે $(P_{1}, P_{2}) \in R$. આનો અર્થ છે કે $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. પરિણામે,$P_{2}$ અને $P_{1}$ ની બાજુઓની સંખ્યા પણ સમાન થાય,તેથી $(P_{2}, P_{1}) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3.$ પરંપરિતતા: ધારો કે $(P_{1}, P_{2}) \in R$ અને $(P_{2}, P_{3}) \in R$. આનો અર્થ છે કે $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે,અને $P_{2}$ અને $P_{3}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે. તેથી,$P_{1}$ અને $P_{3}$ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન થાય,તેથી $(P_{1}, P_{3}) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
જેમ કે $R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત છે,તેથી તે એક સામ્ય સંબંધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $T$ સાથે સંબંધિત $A$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ એવા તમામ બહુકોણનો બનેલો છે જેની બાજુઓની સંખ્યા $T$ જેટલી જ હોય. $T$ ને $3$ બાજુઓ હોવાથી,આ ગણ $A$ માં રહેલા તમામ ત્રિકોણોનો બનેલો છે.