સાબિત કરો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈપણ પૂર્ણાંક $q$ માટે $5q+2$ અથવા $5q+3$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે $a$ એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $5$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 5m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$.
ધારો કે $q' = 5m^2 + 2mr$,તો $a^2 = 5q' + r^2$.
આપણે $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ની તમામ શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
કિસ્સો $I$: જો $r=0$,તો $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,જે $5q$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $II$: જો $r=1$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $III$: જો $r=2$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r=3$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,જે $5q+4$ સ્વરૂપમાં છે.
કિસ્સો $V$: જો $r=4$,તો $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,જે $5q+1$ સ્વરૂપમાં છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં $a^2$ એ $5q, 5q+1,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં મળે છે. તેથી,તે $5q+2$ અથવા $5q+3$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.