છ '$+$' અને ચાર '$-$' ચિહ્નોને એક સીધી રેખામાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે '$-$' ચિહ્નો સાથે ન આવે,તો કુલ કેટલી રીતે ગોઠવણી કરી શકાય?

વિધાન $I$: $10$ સમાન દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે,તે ${}^9C_3$ છે.
વિધાન $II$: $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^9C_3$ છે.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$ અંકની એવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં બે એકી અને બે બેકી અંકો હોય?

$9$ મહિલાઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. એવી સમિતિઓની સંખ્યા જેમાં મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય તે શોધો.

$9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ હોય,તો આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

જો $^{n^2 - n}C_2 = ^{n^2 - n}C_{10}$ હોય,તો $n = $