$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$ અંકની એવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં બે એકી અને બે બેકી અંકો હોય?

$5$ છોકરાઓ અને $7$ છોકરીઓના જૂથનો વિચાર કરો. જો બે ચોક્કસ છોકરીઓ $A$ અને $B$ હોય,જેઓ એક જ ટીમમાં સભ્ય બનવાનો ઇનકાર કરે છે,તો આ જૂથમાંથી $2$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓની બનેલી કેટલી અલગ-અલગ ટીમો બનાવી શકાય?

જો $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ હોય,તો $r$ નું મૂલ્ય શોધો.

$CORGOO$ શબ્દમાંથી કોઈ પણ $4$ અક્ષરો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

$4$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓમાંથી એવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ પુરુષો હોય અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા પુરુષો કરતાં બરાબર બમણી હોય.

જો $\binom{n-1}{4}$,$\binom{n-1}{5}$,અને $\binom{n-1}{6}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $n$ શોધો.