વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2xy$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\frac{dy}{dx} - y \log_{e} 0.5 = 0$,$y(0) = 1$,અને $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y(x) \rightarrow k$ હોય,તો $k =$

ધારો કે $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $y(x+1) dx - x^2 dy = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=e$ છે. તો $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} \tan y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $S$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{y^2 e^{-1 / y}}{\sqrt{x}} dx - 2 \sec \sqrt{x} dy = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા આપવામાં આવતા વક્રોનું કુટુંબ છે. તો $S$ માં સમાવિષ્ટ અને બિંદુ $(\pi^2, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.