अवकल समीकरण frac{dx}{dy} = frac{x}{1 + x e^y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + x e^y \cos(x^2)}{x} = \frac{

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$2x + e^y(c + \sin(x^2)) = 0$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + x e^y \cos(x^2)}{x} = \frac{1}{x} + e^y \cos(x^2)$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - e^y \cos(x^2) = \frac{1}{x}$ मिलता है।$e^{-y}$ से भाग देने पर: $e^{-y} \frac{dy}{dx} - \cos(x^2) = \frac{1}{x} e^{-y}$.$e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = \cos(x^2)$.माना $v = -e^{-y}$,तो $\frac{dv}{dx} = e^{-y} \frac{dy}{dx}$ होगा।समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \cos(x^2)$.यह $v$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।हल $v \cdot x = \int x \cos(x^2) dx$ होगा।माना $u = x^2$,तो $du = 2x dx$,अतः $x dx = \frac{1}{2} du$.$v \cdot x = \int \frac{1}{2} \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + c = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.$v = -e^{-y}$ रखने पर: $-x e^{-y} = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.$-2x = e^y (\sin(x^2) + 2c)$.अतः $2x + e^y(C + \sin(x^2)) = 0$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है):

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यदि फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ और $f(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow -1$ है।

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$ और $f(1) = \frac{2}{3}$ है। तब $18 f(3)$ का मान $......$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ का हल ज्ञात कीजिए।

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