વિકલ સમીકરણ $\left(\tan ^{-1} y-x\right) d y=\left(1+y^{2}\right) d x$ ઉકેલો.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણને $\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ ..........$(1)$ તરીકે લખી શકાય છે.
હવે $(1)$ એ $\frac{d x}{d y}+P_{1} x=Q_{1}$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ અને $Q_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ મળે.
આમ,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ $x e^{\tan ^{-1} y} = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy + C$ ..........$(2)$ છે.
ધારો કે $I = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy$.
$\tan ^{-1} y = t$ આદેશ લેતા,જેથી $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) dy = dt$ મળે,તેથી $I = \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int 1 \cdot e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t-1)$ થાય.
$t = \tan ^{-1} y$ મૂકતા,$I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1)$ મળે.
$I$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1) + C$ મળે.
$e^{\tan ^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \tan ^{-1} y - 1 + C e^{-\tan ^{-1} y}$ મળે,જે માંગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.