अवकल समीकरण $\left(\tan ^{-1} y-x\right) d y=\left(1+y^{2}\right) d x$ को हल कीजिए।

(A) दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ ..........$(1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब $(1)$ एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{d x}{d y}+P_{1} x=Q_{1}$ के रूप में है,जहाँ $P_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है।
अतः,समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दिए गए अवकल समीकरण का हल $x e^{\tan ^{-1} y} = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy + C$ ..........$(2)$ है।
माना $I = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy$ है।
$\tan ^{-1} y = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) dy = dt$ प्राप्त होता है,अतः $I = \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int 1 \cdot e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t-1)$ होता है।
$t = \tan ^{-1} y$ रखने पर,$I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1)$ प्राप्त होता है।
$I$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1) + C$ प्राप्त होता है।
$e^{\tan ^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \tan ^{-1} y - 1 + C e^{-\tan ^{-1} y}$ प्राप्त होता है,जो कि अभीष्ट व्यापक हल है।