નીચેના દરેક વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જો $AB = 12 \text{ cm}$ અને $BC = 5 \text{ cm}$ હોય,તો $AC = 13 \text{ cm}$ થાય.
$(2)$ $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. જો $AB \parallel CD$ અને $AB = 10 \text{ cm}$ હોય,તો $CD = 10 \text{ cm}$ થાય.

(A) $(1)$ ખોટું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ પાસપાસેની બાજુઓ છે. વિકર્ણ $AC$ એ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે. ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. અહીં,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,જે $AC = 13 \text{ cm}$ કરતા વધારે છે. જોકે,$ABCD$ લંબચોરસ જ હોય તેવી કોઈ શરત નથી. જો તે લંબચોરસ હોત,તો $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ થાત. પરંતુ તે માત્ર સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,ખૂણા $\angle B$ ના માપ મુજબ $AC$ નું મૂલ્ય બદલાઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
$(2)$ ખોટું. સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB \parallel CD$ હોય,ત્યાં સમાંતર બાજુઓ (પાયા) સમાન હોવા જરૂરી નથી. જો સમાંતર બાજુઓ સમાન હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બની જાય,માત્ર સમલંબ ચતુષ્કોણ જ રહે તે જરૂરી નથી.