વિધાન -1: વિધેય f(x) = x^2(e^x + e^{-x}) એ તમ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$$x > 0$ માટે,$x^2e^x$ સ્પષ્ટપણે વધતું વિધેય છે કારણ કે તેનું વિકલન $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ થાય છે.હવે

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે; વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$$x > 0$ માટે,$x^2e^x$ સ્પષ્ટપણે વધતું વિધેય છે કારણ કે તેનું વિકલન $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ થાય છે.હવે $h(x) = x^2e^{-x}$ ધ્યાનમાં લો.$h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x).$$0  0$ છે,પરંતુ $x > 2$ માટે,$h'(x) આમ,$h(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય નથી,તેથી વિધાન $-2$ ખોટું છે.હવે,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x) + \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) = (2x+x^2)e^x + (2x-x^2)e^{-x} = 2x(e^x+e^{-x}) + x^2(e^x-e^{-x}).$તમામ $x > 0$ માટે $e^x > e^{-x}$ હોવાથી,$e^x - e^{-x} > 0$ થાય.આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય છે.તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માં હંમેશા વધતું વિધેય છે.

વિધેય $\sin x - bx + c$ એ અંતરાલ $(-\infty, \infty)$ માં વધતું વિધેય હશે,જો

$f(x) = \frac{1}{2}[|\sin x| + \sin x]$, $0 < x \leq 2\pi$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો, $f$ એ

ધારો કે $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$ અને $[0, 1]$ માં $f^{\prime \prime}(x) < 0$ છે, તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module