$k$ के उन सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ के मूल एक-दूसरे के वर्ग हैं।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-ax^2+bx-c=0$ के मूल हैं,तो $\Sigma \alpha^2(\beta+\gamma) = $

मान लीजिए कि समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जो दोनों $\frac{1}{3}$ से भिन्न हैं,तो वह समीकरण जिसके मूल $\frac{1}{3\alpha-1}$ और $\frac{1}{3\beta-1}$ हैं,वह है

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - ax + b = 0$ के मूल हैं और यदि $\alpha^n + \beta^n = V_n$ है,तो -

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल हैं,जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$ और $b_1=1$ तथा $b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2$ परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_{n+2}-1$ सभी $n \geq 1$ के लिए
$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{10^n} = \frac{8}{89}$
$(4)$ $b_n = \alpha^n+\beta^n$ सभी $n \geq 1$ के लिए

यदि समीकरण $\lambda x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ के मूलों का योग उनके गुणनफल के बराबर है,तो $\lambda = $