ધારો કે A એ 3 times 3 શ્રેણિક છે જેના ઘટકો {- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણિક $A$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ ગણમાંથી છે. $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2001$ છે. શક્ય શ્રેણિકો

Vedclass · Accepted Answer

$P < \frac{1}{10^{18}}$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણિક $A$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ ગણમાંથી છે. $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2001$ છે. શક્ય શ્રેણિકો $A$ ની કુલ સંખ્યા $(2001)^9$ છે. કિસ્સો $1$: $A^2 = -I$. જો $A$ એ $3 	imes 3$ શ્રેણિક હોય,તો લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A$ તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે. જો $A^2 = -I$ હોય,તો ન્યૂનતમ બહુપદી $x^2 + 1$ ને ભાગે છે. કારણ કે ન્યૂનતમ બહુપદીની ઘાત પરિમાણ $3$ ને ભાગવી જોઈએ,અને $x^2+1$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી,તેથી વાસ્તવિક (પૂર્ણાંક) ઘટકો ધરાવતા $3 	imes 3$ શ્રેણિક માટે આ અશક્ય છે. આમ,આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા $0$ છે. કિસ્સો $2$: $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. ધારો કે $A = 	ext{diag}(a, b, c)$. આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા $(2001)^3$ છે. તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $(2001)^3$ છે. સંભાવના $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ દ્વારા મળે છે. આપણી પાસે $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 	imes 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ છે. કારણ કે $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,તેથી $P આમ,$P < \frac{1}{10^{18}}$.

Similar Questions

જો $A$ એક એવો ચોરસ શ્રેણિક હોય કે જેથી $A^2=A$ થાય,તો $(I-A)^3$ શું થાય?

જો $a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9}$ હોય, તો $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ ધ્યાનમાં લો કે જેથી $A^2 = 3A + \alpha I$. જો $A^4 = 21A + \beta I$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module