मान लीजिए log _a b + log _b a = c है। सभी a, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $\log _a b + \log _b a = c$.चूंकि $a, b > 1$,इसलिए $\log _a b$ और $\log _b a$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।अंकगणितीय माध्य-ग

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(C) दिया गया है कि $\log _a b + \log _b a = c$.चूंकि $a, b > 1$,इसलिए $\log _a b$ और $\log _b a$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.मान लीजिए $x = \log _a b$ और $y = \log _b a$.तब $\frac{\log _a b + \log _b a}{2} \geq \sqrt{\log _a b \cdot \log _b a}$.चूंकि $\log _a b = \frac{1}{\log _b a}$,इसलिए $\log _a b \cdot \log _b a = 1$ है।अतः,$\frac{c}{2} \geq \sqrt{1} = 1$.इससे $c \geq 2$ प्राप्त होता है।$c$ का न्यूनतम संभव पूर्णांक मान $2$ है।

मान लीजिए $\log _a b + \log _b a = c$ है। सभी $a, b > 1$ के लिए $c$ का न्यूनतम संभव पूर्णांक मान क्या है?

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