मान लीजिए $a, b$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $ab \neq 0$ है। निम्नलिखित चार आकृतियों में से कौन सी वक्र $(y-ax-b)(bx^2+ay^2-ab)=0$ को दर्शाती है?

एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और परवलय $x^2 = 4(y + b)$ इस प्रकार हैं कि दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ और परवलय के नाभिलंब के अंतिम बिंदु एक वर्ग के शीर्ष हैं। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है

वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। वृत्त और अतिपरवलय की धनात्मक ढाल वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और $H : \frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है। मान लीजिए $E$ की नाभियों और $H$ की नाभियों के बीच की दूरी $2\sqrt{3}$ है। यदि $a - A = 2$,और $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का अनुपात $\frac{1}{3}$ है,तो उनके नाभिलंबों (latus rectums) की लंबाइयों का योग बराबर है :

परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है,जहाँ भुज $t^2$ अंतराल $[1, 4]$ में स्थित है। बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा,बिंदु $P$ की कोटि (ordinate) और $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज का अधिकतम संभावित क्षेत्रफल है

यदि अतिपरवलय $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ की एक स्पर्श रेखा,परवलय $y^2 = 8x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो धनात्मक ढाल वाली ऐसी स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा?