मान लीजिए कि F(x),f(x) = frac{sin x}{x},x 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $F(x)$,$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $\int \frac{\sin x}{x} dx = F(x) + C$ है। हमें समाकल $I = \int_{1}^{3} \fr

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$F(6) - F(2)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $F(x)$,$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $\int \frac{\sin x}{x} dx = F(x) + C$ है। हमें समाकल $I = \int_{1}^{3} \frac{\sin 2x}{x} dx$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $t = 2x$,तब $dt = 2 dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2}$। जब $x = 1$,तब $t = 2$। जब $x = 3$,तब $t = 6$। इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{2}^{6} \frac{\sin t}{t/2} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{2}^{6} \frac{\sin t}{t} dt$। चूंकि $\int \frac{\sin t}{t} dt = F(t)$,इसलिए कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_{2}^{6} \frac{\sin t}{t} dt = F(6) - F(2)$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

मान लीजिए कि $F(x)$,$f(x) = \frac{\sin x}{x}$,$x > 0$ का एक प्रति-अवकलज (antiderivative) है। तो $\int_{1}^{3} \frac{\sin 2x}{x} dx$ को किस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है?

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$\int_{0}^{1} \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) dx =$

$\int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx =$

$\int_{-1}^{2} \frac{|x|}{x} d x$ का मान है

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi^2 / 4} (2 \sin \sqrt{x} + \sqrt{x} \cos \sqrt{x}) \, dx$

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