मान लीजिए कि f घात 3 का एक बहुपद है और किसी भ | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ घात $3$ का एक बहुपद है,जहाँ $a 
eq 0$ है।तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ एक द्विघात बहुपद है।स्थिर बिंदु $f'

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$f$ के या तो $0$ या $2$ स्थिर बिंदु हैं।

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(D) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ घात $3$ का एक बहुपद है,जहाँ $a 
eq 0$ है।तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ एक द्विघात बहुपद है।स्थिर बिंदु $f'(x) = 0$ के मूल होते हैं।एक द्विघात समीकरण के $0, 1,$ या $2$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।यदि $f'(x) = 0$ का ठीक एक मूल $\alpha$ है,तो $\alpha$ एक पुनरावृत्त मूल (repeated root) होना चाहिए,इसलिए $f'(x) = 3a(x - \alpha)^2$ होगा।इस स्थिति में,$f''(x) = 6a(x - \alpha)$,जिसका अर्थ है कि $f''(\alpha) = 0$ है।हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि किसी भी स्थिर बिंदु पर $f''(x) 
eq 0$ है।इसलिए,$f'(x) = 0$ का कोई पुनरावृत्त मूल नहीं हो सकता है।अतः,$f'(x) = 0$ के या तो $0$ भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए या $2$ भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।इसलिए,$f$ के या तो $0$ या $2$ स्थिर बिंदु हैं।

मान लीजिए कि $f$ घात $3$ का एक बहुपद है और किसी भी स्थिर बिंदु (stationary point) पर $f''(x) \neq 0$ है। तो

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