એક $A.P.$ ના $p^{\text{th}}$,$q^{\text{th}}$ અને $r^{\text{th}}$ પદો અનુક્રમે $a$,$b$ અને $c$ છે. સાબિત કરો કે $(q-r)a + (r-p)b + (p-q)c = 0$.

(N/A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પદ છે અને $D$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
$A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ $a_n = A + (n-1)D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,
$a_p = A + (p-1)D = a$ $(1)$
$a_q = A + (q-1)D = b$ $(2)$
$a_r = A + (r-1)D = c$ $(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(p-q)D = a-b \Rightarrow D = \frac{a-b}{p-q}$ $(4)$
$(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(q-r)D = b-c \Rightarrow D = \frac{b-c}{q-r}$ $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ ને સરખાવતા:
$\frac{a-b}{p-q} = \frac{b-c}{q-r}$
ગુણાકાર કરતા:
$(a-b)(q-r) = (b-c)(p-q)$
$aq - ar - bq + br = bp - bq - cp + cq$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$aq - ar - bq + br - bp + bq + cp - cq = 0$
$a(q-r) + b(r-p) + c(p-q) = 0$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.