एक $A.P.$ के $p^{\text{th}}$,$q^{\text{th}}$ और $r^{\text{th}}$ पद क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं। सिद्ध कीजिए कि $(q-r)a + (r-p)b + (p-q)c = 0$ है।

(N/A) माना $A$ प्रथम पद है और $D$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
$A.P.$ का $n^{\text{th}}$ पद $a_n = A + (n-1)D$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,
$a_p = A + (p-1)D = a$ $(1)$
$a_q = A + (q-1)D = b$ $(2)$
$a_r = A + (r-1)D = c$ $(3)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(p-q)D = a-b \Rightarrow D = \frac{a-b}{p-q}$ $(4)$
$(2)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(q-r)D = b-c \Rightarrow D = \frac{b-c}{q-r}$ $(5)$
$(4)$ और $(5)$ की तुलना करने पर:
$\frac{a-b}{p-q} = \frac{b-c}{q-r}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(a-b)(q-r) = (b-c)(p-q)$
$aq - ar - bq + br = bp - bq - cp + cq$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$aq - ar - bq + br - bp + bq + cp - cq = 0$
$a(q-r) + b(r-p) + c(p-q) = 0$
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।