रेखा frac{x-1}{2}=frac{y+3}{1}=frac{z+7}{2} औ | vedclass

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Question

(A) एक रेखा जिसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a_1, b_1, c_1)$ है,के बीच का कोण $	heta$ निम्नलिखित सूत्र द्वार

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$\sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$

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(A) एक रेखा जिसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a_1, b_1, c_1)$ है,के बीच का कोण $	heta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\sin 	heta = \frac{|a a_1 + b b_1 + c c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$ यहाँ,रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c) = (2, 1, 2)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (6, -2, -3)$ है। रेखा के दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है। समतल के अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\sin 	heta = \frac{|(2)(6) + (1)(-2) + (2)(-3)|}{3 	imes 7} = \frac{|12 - 2 - 6|}{21} = \frac{4}{21}$. अतः,$	heta = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}ight)$।

रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+7}{2}$ और समतल $\bar{r} \cdot(6 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})=5$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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एक समतल $P$,रेखा $x+2y+3z+1=0=x-y-z-6$ को समाहित करता है और समतल $-2x+y+z+8=0$ के लंबवत है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $P$ पर स्थित है?

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है। तो $(\alpha, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

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