वक्र y = x^2 + 2x + 1,(1, 4) पर इसके स्पर्श र | vedclass

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Question

(A) वक्र का समीकरण $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ है।सबसे पहले,हम $(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर

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$\frac{1}{3} \ sq. \ units$

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(A) वक्र का समीकरण $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ है।सबसे पहले,हम $(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ प्राप्त होता है।$(1, 4)$ बिंदु पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + 2 = 4$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 4 = 4(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 4x$ प्राप्त होता है।वक्र,स्पर्श रेखा और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$x = 0$ से $x = 1$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्श रेखा,$X$-अक्ष तथा रेखा $x = 1$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx - \int_0^1 (4x) dx$.प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$.द्वितीय समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_0^1 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^1 = 2(1)^2 - 0 = 2$.अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $A = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3} \ sq. \ units$.

वक्र $y = x^2 + 2x + 1$,$(1, 4)$ पर इसके स्पर्श रेखा और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ($sq. \ units$ में) ज्ञात कीजिए।

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