वक्र y = x^2 - x - 6,x-अक्ष (y = 0) और रेखाओं | vedclass

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Question

(D) क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक फलन $y = x^2 - x - 6$ के मापांक का समाकलन है।सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र अंतराल $[-1, 1]$ में $x$-अक

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$\frac{34}{3}$

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(D) क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक फलन $y = x^2 - x - 6$ के मापांक का समाकलन है।सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र अंतराल $[-1, 1]$ में $x$-अक्ष को काटता है।$y = 0$ रखने पर,$x^2 - x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x - 3)(x + 2) = 0$ हैं।शून्यक $x = 3$ और $x = -2$ हैं।चूँकि ये दोनों मान अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं आते हैं,इसलिए फलन $y = x^2 - x - 6$ इस अंतराल में अपना चिह्न नहीं बदलता है।$x \in [-1, 1]$ के लिए,$x^2 - x - 6$ ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,$x = 0$ पर,$y = -6$)।अतः,क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1} |x^2 - x - 6| \, dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - x - 6) \, dx$ होगा।$A = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-1}^{1}$.$A = - \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) \right]$.$A = - \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right]$.$A = - \left[ \frac{2}{3} - 12 \right] = - \left[ \frac{2 - 36}{3} \right] = - \left[ -\frac{34}{3} \right] = \frac{34}{3}$ वर्ग इकाई।

वक्र $y = x^2 - x - 6$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखाओं $x = -1$ तथा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

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$y=|x|$ और $y=-|x|+2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y=x^2+2$ और रेखाओं $y=x+1$,$x=0$ तथा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

यदि परवलय $y^2=16ax$ और रेखा $y=4mx$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{a^2}{12}$ वर्ग इकाई है,तो '$m$' का मान ज्ञात कीजिए।

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