परवलय y = x^2 - 1,बिंदु (2, 3) पर इसकी स्पर्श | vedclass

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Question

(A) परवलय का समीकरण $y = x^2 - 1$ है। बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$। $x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2

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$\frac{8}{3}$

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(A) परवलय का समीकरण $y = x^2 - 1$ है। बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$। $x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2) = 4$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = 4(x - 2)$ है,जिसे $y = 4x - 5$ या $x = \frac{y + 5}{4}$ के रूप में सरल किया जा सकता है। परवलय को $x = \sqrt{y + 1}$ के रूप में लिखा जा सकता है ($x > 0$ के लिए)। स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटती है,जहाँ $y = -5$ है। परवलय,स्पर्श रेखा और $y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 3$ तक के समाकलन द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (x_{	ext{tangent}} - x_{	ext{parabola}}) dy = \int_{-1}^{3} \left( \frac{y + 5}{4} - \sqrt{y + 1} ight) dy$। $= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{5y}{4} ight]_{-1}^{3} - \left[ \frac{2}{3}(y + 1)^{3/2} ight]_{-1}^{3}$। $= \left( (\frac{9}{8} + \frac{15}{4}) - (\frac{1}{8} - \frac{5}{4}) ight) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 ight)$। $= (\frac{39}{8} - (-\frac{9}{8})) - \frac{2}{3}(8) = \frac{48}{8} - \frac{16}{3} = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$।

परवलय $y = x^2 - 1$,बिंदु $(2, 3)$ पर इसकी स्पर्श रेखा और $y$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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