परवलय y=x^2+3, (3,12) पर परवलय की स्पर्श रेखा | vedclass

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Question

(A) दिया गया परवलय $y=x^2+3$ है।सबसे पहले, $(3,12)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=3$ पर, ढाल $m = 2(3) = 6$ है

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$6$

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(A) दिया गया परवलय $y=x^2+3$ है।सबसे पहले, $(3,12)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=3$ पर, ढाल $m = 2(3) = 6$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 12 = 6(x - 3)$ है, जिसे सरल करने पर $y = 6x - 6$ प्राप्त होता है।स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $y=0$ पर काटती है, इसलिए $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ है।प्रथम चतुर्थांश में परवलय, स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल, $x=0$ से $x=3$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल माइनस स्पर्श रेखा, $x$-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x=3$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है।अतः, क्षेत्रफल = $\int_0^3 (x^2+3) dx - \int_1^3 (6x-6) dx$.प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.दूसरे समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_1^3 (6x-6) dx = [3x^2 - 6x]_1^3 = (27 - 18) - (3 - 6) = 9 - (-3) = 12$.अभीष्ट क्षेत्रफल = $18 - 12 = 6$ वर्ग इकाई।

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