वक्रों y=ax^2 और x=ay^2 (a 0) के बीच घिरा ह | vedclass

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Question

(A) दो वक्र $y=ax^2$ और $x=ay^2$ बिंदु $O(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।इन वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(A) दो वक्र $y=ax^2$ और $x=ay^2$ बिंदु $O(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।इन वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम ऊपरी वक्र $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ और निचले वक्र $y=ax^2$ के बीच के अंतर का $x=0$ से $x=\frac{1}{a}$ तक समाकलन करते हैं।दिया गया क्षेत्रफल $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

वक्रों $y=ax^2$ और $x=ay^2$ $(a > 0)$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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