વક્રો y = log_e x અને y = (log_e x)^2 દ્વારા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\log_e x = (\log_e x)^2$ લઈને છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.ધ

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(A) વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\log_e x = (\log_e x)^2$ લઈને છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.ધારો કે $u = \log_e x$. તો $u = u^2$,જેનો અર્થ છે $u^2 - u = 0$,તેથી $u(u - 1) = 0$. આમ,$u = 0$ અથવા $u = 1$.$u = 0$ માટે,$\log_e x = 0 \implies x = 1$. $u = 1$ માટે,$\log_e x = 1 \implies x = e$.વક્રો $x = 1$ અને $x = e$ પર છેદે છે. અંતરાલ $[1, e]$ માં,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$તેથી,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$.

વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Similar Questions

$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ અને } y \geq 4x - 1\}$ દ્વારા વર્ણવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

$y = ||x - 1| - 2|$ અને $y = 2$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પરવલયો $4y^2 = 9x$ અને $3x^2 = 16y$ ના સામાન્ય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે...

પ્રદેશ $A = \{(x, y): 4x^2 + y^2 \le 8 \text{ અને } y^2 \le 4x\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module