वक्रों x(1+y^2)=1 और y^2=2x द्वारा परिबद्ध क् | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ हैं।दूसरे समीकरण से,$x = \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है।इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{y^2}

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$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वक्र $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ हैं।दूसरे समीकरण से,$x = \frac{y^2}{2}$ प्राप्त होता है।इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{y^2}{2}(1+y^2) = 1 \Rightarrow y^2 + y^4 = 2 \Rightarrow y^4 + y^2 - 2 = 0$.माना $y^2 = t$,तब $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t+2)(t-1) = 0$.चूंकि $y^2 = t \ge 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.$y = \pm 1$ के लिए,$x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y^2}{2} ight) dy$ द्वारा दिया जाता है।$= \left[ 	an^{-1}(y) - \frac{y^3}{6} ight]_{-1}^{1}$.$= \left( 	an^{-1}(1) - \frac{1}{6} ight) - \left( 	an^{-1}(-1) - \frac{(-1)^3}{6} ight)$.$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} ight) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} ight)$.$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.

वक्रों $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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