એક અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે. જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ પર હોય અને જે $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો સમીકરણ $\frac{x^2}{7 - k} + \frac{y^2}{5 - k} = 1$ એ અતિવલય (hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો:

અતિવલય $9x^2 - 4y^2 = 36$ માટે રેખા $y = 2x$ ને સમાંતર જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ પર દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

અતિવલય $H : x^2-y^2=1$ અને કેન્દ્ર $N(x_2, 0)$ વાળું વર્તુળ $S$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $H$ અને $S$ એકબીજાને બિંદુ $P(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શે છે જ્યાં $x_1 > 1$ અને $y_1 > 0$ છે. $P$ આગળ $H$ અને $S$ નો સામાન્ય સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $M$ પર છેદે છે. જો $(l, m)$ એ ત્રિકોણ $\triangle PMN$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે?
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ જ્યાં $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ જ્યાં $y_1 > 0$

જો $16x^2 - 9y^2 = 144$ અને $8x - 3y = 24$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય, તો $3(A + 6 \ln(3))$ ની કિંમત . . . . . . . છે.