अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 के ल | vedclass

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Question

(A) किसी $x$ पर ऊर्ध्वाधर जीवा की लंबाई $L(x) = 2y = 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ है।औसत लंबाई $A_L = \frac{1}{2a-a} \int_a^{2a} L(x) dx = \frac{1}{a}

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$b\{2 \sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3})\}$

Vedclass · Answer

(A) किसी $x$ पर ऊर्ध्वाधर जीवा की लंबाई $L(x) = 2y = 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ है।औसत लंबाई $A_L = \frac{1}{2a-a} \int_a^{2a} L(x) dx = \frac{1}{a} \int_a^{2a} 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2} dx$ द्वारा दी जाती है।$A_L = \frac{2b}{a^2} \int_a^{2a} \sqrt{x^2-a^2} dx$.समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ का उपयोग करके, $a$ से $2a$ तक गणना करने पर:$A_L = \frac{2b}{a^2} [\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]_a^{2a}$.$x=2a$ पर: $a^2\sqrt{3} - \frac{a^2}{2}\ln(a(2+\sqrt{3}))$.$x=a$ पर: $- \frac{a^2}{2}\ln(a)$.घटाने पर: $A_L = b[2\sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3})]$.

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए $a \leq x \leq 2a$ अंतराल में सभी ऊर्ध्वाधर जीवाओं की औसत लंबाई ज्ञात कीजिए।

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