$(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $x^2 + y^2 = 9$ વર્તુળને સ્પર્શતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે વર્તુળો $C_1 : |z| = r$ અને $C_2 : |z - 3 - 4i| = 5, z \in \mathbb{C}$ એવા છે કે જેથી $C_2$ એ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે. જો $z_1$ એ $C_1$ પર ગતિ કરે, $z_2$ એ $C_2$ પર ગતિ કરે અને $\min |z_1 - z_2| = 2$ હોય, તો $\max |z_1 - z_2|$ ની કિંમત શોધો:

$A(x_1, y_1)$ એ બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ નું આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર છે અને $B(x_2, y_2)$ એ બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર છે,જેના કેન્દ્રો અનુક્રમે $P(\alpha, \beta)$ અને $Q(\gamma, \delta)$ છે. જો $PA=3, AB=5, QB=2$ હોય,તો બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો:

ધારો કે $S$ એ $xy$-સમતલમાં $x^2+y^2=4$ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વર્તુળ છે.
$(1)$ ધારો કે $E_1, E_2$ અને $F_1, F_2$ એ $S$ ની જીવાઓ છે જે $P_0(1,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે. ધારો કે $G_1, G_2$ એ $S$ ની જીવા છે જે $P_0$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-1$ છે. ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ આગળના સ્પર્શકો $E_3$ માં મળે છે,$F_1$ અને $F_2$ આગળના સ્પર્શકો $F_3$ માં મળે છે,અને $G_1$ અને $G_2$ આગળના સ્પર્શકો $G_3$ માં મળે છે. તો,બિંદુઓ $E_3, F_3$ અને $G_3$ કયા વક્ર પર આવેલા છે?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ પરનું બિંદુ છે જેના બંને યામ ધન છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $M$ અને $N$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો,રેખાખંડ $MN$ નું મધ્યબિંદુ કયા વક્ર પર હોવું જોઈએ?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$

જો રેખાઓ $L_1 \equiv x+y=0$,$L_2 \equiv 2x+y-1=0$,અને $L_3 \equiv x-3y+2=0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના પરિવર્તુળનું સમીકરણ $\lambda_1 L_1 L_2 + \lambda_2 L_2 L_3 + \lambda_3 L_3 L_1 = 0$ હોય,તો $\frac{7 \lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_3}{\lambda_1}$ ની કિંમત શોધો.

જો વર્તુળો $x^2+y^2=9$ અને $x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ ને બરાબર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય,તો $n$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી થાય?