$(x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{32}$ નો સહગુણક શોધો.

$n \in N$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેથી $(1+x^2)^2(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x$, $x^2$ અને $x^3$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય:

જો $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ ના વિસ્તરણમાં $k^{\text{th}}$ પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોય,તો $x = \frac{2}{3}$ હોય ત્યારે $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^k$ ના વિસ્તરણમાં સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ કયું છે?

$(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાંક પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a_0, a_1, \ldots, a_{23}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $(1+\frac{2}{5} x)^{23} = \sum_{i=0}^{23} a_i x^i$ થાય. ધારો કે $0 \leq j \leq 23$ માટે $a_j$ સંખ્યાઓમાં $a_r$ સૌથી મોટી છે. તો $r$ નું મૂલ્ય $....$ છે.

જો $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$ એ $\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ હોય,તો $k$ ની કિંમત ...... થાય.