(1+2x+3x^2+ldots)^{-1/2} के विस्तार में x^n क | vedclass

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Question

(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$. $x$ से गुणा करने पर, $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर:

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$1$

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(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$. $x$ से गुणा करने पर, $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$. अतः, $S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$. दिया गया व्यंजक $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ प्राप्त होता है। अतः, $x^n$ का गुणांक $1$ है।

$(1+2x+3x^2+\ldots)^{-1/2}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक, जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है, ज्ञात कीजिए।

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कथन $(A)$: यदि $|x| < 1$ है,तो $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1} = \frac{x}{x+1}$.
कारण $(R)$: यदि $|x| < 1$ है,तो $(1+x)^{-1} = 1-x+x^2-x^3+\dots$.
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$217$ का घनमूल क्या है?

यदि $\frac{(1+x)^2}{(1-2x)^3}$ के विस्तार में $x^{13}$ का गुणांक $A \times 2^{10}$ है,तो $A=$

$\frac{1+4x-3x^2}{(1+3x)^3}$ के पावर श्रेणी विस्तार में $x^3$ का गुणांक क्या है?

यदि $x$ छोटा है,ताकि $x^2$ और उच्च घातों को नगण्य माना जा सके,तो $\frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ का अनुमानित मान क्या होगा?

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