व्यंजक (x + 2)^{n-1} + (x + 2)^{n-2}(x + 1) + | vedclass

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Question

(B) दिया गया व्यंजक $n$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = (x + 2)^{n-1}$ और सार्व अनुपात $q = \frac{x+1}{x+2}$ है।
योगफल सूत्र $S_n

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$^nC_r (2^{n-r} - 1)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया व्यंजक $n$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = (x + 2)^{n-1}$ और सार्व अनुपात $q = \frac{x+1}{x+2}$ है।
योगफल सूत्र $S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}$ का उपयोग करने पर:
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{1 - (\frac{x+1}{x+2})^n}{1 - \frac{x+1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{\frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n}}{\frac{x+2 - x - 1}{x+2}} \right]$
$E = (x + 2)^{n-1} \left[ \frac{(x+2)^n - (x+1)^n}{(x+2)^n} \cdot (x+2) \right]$
$E = (x + 2)^n - (x + 1)^n$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(2 + x)^n - (1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 2^{n-r} x^r - \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} 1^{n-r} x^r$
$= \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} (2^{n-r} - 1) x^r$
अतः,$x^r$ का गुणांक $^nC_r (2^{n-r} - 1)$ है।

व्यंजक $(x + 2)^{n-1} + (x + 2)^{n-2}(x + 1) + (x + 2)^{n-3}(x + 1)^2 + \dots + (x + 1)^{n-1}$ में $x^r$ $(0 \le r \le n - 1)$ का गुणांक क्या है?

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