(x+1)^{n} के विस्तार में (r-1)^{th},r^{th} और | vedclass

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Question

(A) $(x+1)^{n}$ के द्विपद विस्तार में $(k+1)^{th}$ पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।$(r-1)^{th}$ पद $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+2}

Vedclass · Accepted Answer

$n=7, r=3$

Vedclass · Answer

(A) $(x+1)^{n}$ के द्विपद विस्तार में $(k+1)^{th}$ पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।$(r-1)^{th}$ पद $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+2}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_{r-2}}$ है।$r^{th}$ पद $T_r = {^nC_{r-1}} x^{n-r+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है।$(r+1)^{th}$ पद $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_r}$ है।गुणांकों का अनुपात $1:3:5$ दिया गया है,इसलिए:$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{1}{3}$ और $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{3}{5}$.$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3}$ से,$3r-3 = n-r+2$,अर्थात $n-4r+5=0$ (समीकरण $1$).$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5}$ से,$5r = 3n-3r+3$,अर्थात $3n-8r+3=0$ (समीकरण $2$).समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर $2n-8r+10=0$ मिलता है। समीकरण $2$ से इसे घटाने पर $n-7=0$ मिलता है,इसलिए $n=7$.$n=7$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $7-4r+5=0$ $\Rightarrow 4r=12$ $\Rightarrow r=3$.अतः,$n=7$ और $r=3$.

$(x+1)^{n}$ के विस्तार में $(r-1)^{th}$,$r^{th}$ और $(r+1)^{th}$ पदों के गुणांक $1:3:5$ के अनुपात में हैं। $n$ और $r$ ज्ञात कीजिए।

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