रेखाओं $\overline{r}=(2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-2 \hat{k})+\lambda(\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-2 \hat{k})$ और $\overline{r}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+3 \hat{k})+\mu(3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-6 \hat{k})$ जहाँ $\lambda, \mu \in R$ है,के बीच के कोण का कोसाइन (cosine) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $(-1, \alpha, \beta)$ रेखाओं $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0}$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है। तो $(\alpha-\beta)^2$ का मान .................... है।

यदि रेखाओं $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ और $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ है,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ तथा $\frac{x+2}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{5}$ में से प्रत्येक पर लंब रेखा का समीकरण है

बिंदुओं $(3, 4, 1)$ और $(5, 1, 6)$ को जोड़ने वाली रेखा और $xy$-समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है?