$y=a+b e^{2 x}+c e^{-3 x}$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વક્રના કુળને અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ કયું છે?

વક્રોનું એક કુટુંબ જેનું સમીકરણ $1$ ક્રમ અને $3$ ઘાત ધરાવતા વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે, તે છે ($g, a, c$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે):

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $x^{2}=2 y^{2} \log y$ એ સંબંધિત વિકલ સમીકરણ $(x^{2}+y^{2}) \frac{dy}{dx}-xy=0$ નો ઉકેલ છે.

ધારો કે $f(x)$ એક ધન વિધેય છે જેથી $x=0$ થી $x=a>0$ સુધી $y=f(x), y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $e^{-a}+4a^2+a-1$ છે. તો વિકલ સમીકરણ,જેનો વ્યાપક ઉકેલ $y=c_1 f(x)+c_2$ છે,જ્યાં $c_1$ અને $c_2$ સ્વૈર અચળાંકો છે,તે શોધો:

વક્રના કુળ $y = C_1 e^{C_2 x}$ ને દર્શાવતું વિકલ સમીકરણ શોધો,જ્યાં $C_1$ અને $C_2$ સ્વૈર અચળાંકો છે.

$r$ જેટલી અચળ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું વિકલ સમીકરણ કયું છે?