एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियों के बीच की | vedclass

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Question

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दी गई शर्त के अनुसार,नाभियों के बीच की दूरी शीर्षों के बीच की दूरी की दोगुनी ह

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$3x^2 - y^2 = 9$

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(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दी गई शर्त के अनुसार,नाभियों के बीच की दूरी शीर्षों के बीच की दूरी की दोगुनी है: $2ae = 2(2a) \implies ae = 2a \implies e = 2$. हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{b^2}{a^2} = 3 \implies b^2 = 3a^2$. संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 6$ है,जिसका अर्थ है $b = 3$,इसलिए $b^2 = 9$. $b^2 = 9$ को $b^2 = 3a^2$ में रखने पर,हमें $9 = 3a^2 \implies a^2 = 3$ प्राप्त होता है। अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{9} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^2 - y^2 = 9$ प्राप्त होता है।

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यदि अतिपरवलय $x^2 - y^2 \sec^2 \alpha = 5$ की उत्केंद्रता,दीर्घवृत्त $x^2 \sec^2 \alpha + y^2 = 25$ की उत्केंद्रता की $\sqrt{3}$ गुनी है,तो $\alpha$ का मान है:

समीकरण $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ क्या दर्शाता है?

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