फलन $f(x) = ^{16 - x}C_{2x - 1} + ^{20 - 3x}P_{4x - 5}$ का प्रांत,जहाँ प्रतीकों के अपने सामान्य अर्थ हैं,वह समुच्चय है

$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ के योग का दहाई का अंक निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है?

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, \ldots, n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि आसन्न गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,जिनमें प्रत्येक सेट को $1$ से $n + 1$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों।

$1$ और $10^{10}$ के बीच ऐसी संख्याओं की संख्या जिनमें अंक $1$ आता है,है:

नीचे दी गई असमानताओं में से,$1000$ से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए कौन सी सत्य हैं?
$I. n! \leq n^n$
$II. (n!)^2 \leq n^n$
$III. 10^n \leq n!$
$IV. n^n \leq (2n)!$