પૃથ્વી તેની ધરી પર એક વાર પરિભ્રમણ કરવા માટે $24\; h$ લે છે. પૃથ્વી પરથી જોતા સૂર્યને $1^o$ જેટલું ખસવા માટે કેટલો સમય (મિનિટમાં) લાગે છે?

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(a)$ પૃથ્વીની અંદરના વિસ્તારમાં ગુરુત્વપ્રવેગ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતરના ..... પ્રમાણમાં હોય છે.
$(b)$ જો પૃથ્વી તેની ત્રિજ્યા અડધી થાય તેમ સંકોચાય અને તેનું દળ અચળ રહે,તો પૃથ્વી પરની વસ્તુનું વજન ......... ગણું વધશે.
$(c)$ પૃથ્વીના ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ આશરે ............ છે.

બે પદાર્થો,દરેકનું દળ $M$ છે,તેમને $2L$ જેટલા અંતરે સ્થિર રાખવામાં આવ્યા છે. $m$ દળના એક કણને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુથી,તે રેખાને લંબ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ છે. સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે:
$(a)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $4 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(b)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $2 \sqrt{\frac{GM}{L}}$ છે.
$(c)$ બે પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે $m$ દળના કણનો લઘુત્તમ પ્રારંભિક વેગ $\sqrt{\frac{2GM}{L}}$ છે.
$(d)$ $m$ દળના કણની ઉર્જા અચળ રહે છે.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો તેના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા $m$ દળના કણને $F_{1}$ બળથી ગુરુત્વાકર્ષી આકર્ષણ બળ લગાડે છે. હવે,ગોળામાં $\frac{R}{2}$ ત્રિજ્યાની એક ગોળાકાર પોલાણ (કેવિટી) બનાવવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ) જેથી પોલાણ ગોળાના કેન્દ્ર અને બહારની સપાટીને સ્પર્શે છે. કણ પર લાગતું બળ $F_{2}$ થાય છે. $F_{1} : F_{2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$m$ દળ ધરાવતા ચાર સમાન કણો તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમાન કોણીય દિશામાં ભ્રમણ કરી રહ્યા છે. કણનો વેગ કેટલો હશે?

$m$ દળનો એક કણ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ જેટલી ઊંચાઈએથી પૃથ્વીમાં ખોદવામાં આવેલી ટનલની ઉપરથી છોડવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તેથી સાચું વિધાન કયું છે?