ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{3} = 1$ પરના કોઈ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં મળે છે,અને $O$ ઉગમબિંદુ છે,તો ત્રિકોણ $OAB$ નું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

એક ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો,જો તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2$ એકમ હોય અને તેના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{15}{2}$ એકમ હોય.

ધારો કે $C$ એ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે. ધારો કે $PQR$ એક ચલ ત્રિકોણ છે,જેનો શિરોબિંદુ $P$ વર્તુળ $C$ પર છે અને $2$ લંબાઈની બાજુ $QR$ એ $E$ ની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને તે $E$ ના ઋણ $y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો:

બિંદુ $(1, 3)$ માંથી ઉપવલય $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ કેટલો છે?

$k>0$ માટે,ઉપવલય $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$ પરના બિંદુ $P(1, k)$ થી તેના કોઈ એક નિયામિકા (directrix) નું લઘુત્તમ અંતર કેટલું થાય?