ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ અને અતિવલય $4x^2 - y^2 = 4$ ના નાભિ સમાન છે અને તેઓ કાટખૂણે છેદે છે,તો બે શંકુછેદના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ એ વક્રો $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ અને $x^2-y^2=5$ ના અનુક્રમે $I, II, III$ અને $IV$ ચરણમાં ચાર છેદબિંદુઓ છે. જો $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ અને $\theta_4$ એ $A, B, C$ અને $D$ પર વક્રો વચ્ચેના ખૂણા હોય, તો

જો વક્રો $y^2 = 6x$ અને $9x^2 + by^2 = 16$ એકબીજાને કાટખૂણે છેદે,તો $b$ ની કિંમત શોધો.

એવા બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું $(0, 0)$ બિંદુથી અંતર તેના $y$-અક્ષથી અંતર કરતાં બમણું હોય.

એક વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉપવલયના કેન્દ્ર સમાન છે અને તે ઉપવલયના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે,જેથી બંને વક્રો $4$ બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ તેમના છેદબિંદુઓમાંથી કોઈ એક બિંદુ છે. જો ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય અને ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય,તો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

કોઈ $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\sqrt{5}$ ગણી હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.