જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ હોય અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{5}$ હોય તેવું ઉપવલય કયું છે?

ધારો કે $C$ એ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે. ધારો કે $PQR$ એક ચલ ત્રિકોણ છે,જેનો શિરોબિંદુ $P$ વર્તુળ $C$ પર છે અને $2$ લંબાઈની બાજુ $QR$ એ $E$ ની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને તે $E$ ના ઋણ $y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $-\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $C$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય? .............. $sq. \,units$

એક ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો,જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ એકમ હોય અને તેના શિરોબિંદુ તથા નજીકની નાભિ વચ્ચેનું અંતર $3/2$ એકમ હોય.

ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ પરના કોઈ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને બિંદુ $A$ માં છેદે છે. જો $A^{\prime}$ એ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે $A$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો $AA^{\prime}$ ને વ્યાસ તરીકે લેતું વર્તુળ કયા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા,અક્ષો યામ અક્ષો પર હોય અને $(4, -1)$ તથા $(-2, 2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.