સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 - 8x - 18y + 35 = k$ શું દર્શાવે છે?

ઉપવલય $25x^2 + 16y^2 - 150x - 175 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ $XY$-સમતલમાં નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશો છે:
$A_1 = \{(x, y) : x^2 + 2y^2 \leq 1\}$
$A_2 = \{(x, y) : |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1\}$
$A_3 = \{(x, y) : \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1\}$
તો,

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરના ચાર બિંદુઓ $(\pm 3 \cos \theta, \pm 2 \sin \theta)$ આગળ ચાર સ્પર્શકો દોરવામાં આવ્યા છે. જો $A(\theta)$ એ આ ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતું હોય,તો $A(\theta)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો $E$ ના નાભિ $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ,$E$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો $PQ^{2}$ ની કિંમત શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પર આવેલા ત્રણ બિંદુઓ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $(r, s)$ છે. તો $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ અને $\cos(\theta_3-\theta_1)$ ની સરેરાશ શોધો.