ઉપવલય $25x^2 + 16y^2 - 150x - 175 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

બિંદુ $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે,જેની મુખ્ય અક્ષ $AB$ અને ગૌણ અક્ષ $CD$ છે. બિંદુ $F$ એ ઉપવલયનું એક નાભિ છે. જો $OF = 6$ હોય અને ત્રિકોણ $OCF$ ના અંતઃવૃત્તનો વ્યાસ $2$ હોય,તો ગુણાકાર $(AB)(CD)$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે. તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે અને ધારો કે $P$ માંથી મુખ્ય અક્ષ પર દોરેલો લંબ તેના સહાયક વર્તુળને $Q$ માં મળે છે. જો ઉપવલય અને સહાયક વર્તુળ પર અનુક્રમે $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબ $R$ માં મળતા હોય,તો $R$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.

જેના નાભિઓ $(-2,0)$ અને $(8,0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે તેવા ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત સ્વરૂપમાં યામ શું થાય?