x^2+y^2-4x-6y-12=0 और x^2+y^2+6x+4y-12=0 वृत् | vedclass

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Question

(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda 
eq -1$ है। $(x^2

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$x^2+y^2-2x-12=0$

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(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda 
eq -1$ है। $(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$ $(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$ $(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ प्राप्त होता है। $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,और $c = -12$ है। त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$ है। $g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$. $(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$. $9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$. $12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$. $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$ है। $\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2x-12=0$ प्राप्त होता है। $\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ प्राप्त होता है।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $S_\alpha=0$ के बिंदु वृत्त	$(i)$ अस्तित्व में नहीं हैं
$(B)$ $S_\beta=0$ के बिंदु वृत्त	(ii) प्रतिच्छेदी
$(C)$ $S_\alpha=0$ में वृत्त हैं	(iii) गैर-प्रतिच्छेदी
$(D)$ $S_\beta=0$ में वृत्त हैं	(iv) $(\pm \sqrt{k}, 0)$
	$(v)$ $(0, \pm \sqrt{k})$

$x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले और $\sqrt{13}$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है

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$x^2 + y^2 = 1$,$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ वृत्तों की परिधि को समद्विभाजित करने वाले वृत्त के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y+5=0$,$x^2+y^2-2x-4y-1=0$ और $x^2+y^2-6x-2y=0$ का रेडिकल केंद्र (radical centre) ज्ञात कीजिए।

वृत्तों $x^2 + y^2 - 16x + 60 = 0$,$x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$,और $x^2 + y^2 - 12y + 8 = 0$ का रेडिकल केंद्र ज्ञात कीजिए।

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