वक्र x^2+xy+y^2+x+3y+1=0 और रेखा x+y+2=0 के प | vedclass

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Question

(D) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के ल

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$x^2+4xy-y^2=0$

Vedclass · Answer

(D) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण $\frac{x+y}{-2}=1$ का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं। मान रखने पर: $x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$ हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर: $4x^2+4xy+4y^2 - 2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$ $4x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-8xy-6y^2 + x^2+2xy+y^2 = 0$ $3x^2-2xy-y^2 = 0$ यह रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है,जहाँ $a=3, h=-1, b=-1$ है। कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है। $\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$ $\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{-1}$ $-x^2+y^2 = 4xy$ $x^2+4xy-y^2 = 0$ अतः,सही विकल्प $D$ है।

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रेखा $y = mx + c$ और वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाएँ परस्पर लंब होंगी,यदि

$x^2+2xy+y^2-8ax-8ay-9a^2=0$ द्वारा निरूपित समांतर रेखाओं के युग्म के बीच की दूरी $...$ इकाई है।

$(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच की दूरी $3$ इकाई है और $k > 0$ है, तो रेखाओं के समीकरण हैं:

$(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं। यदि उनके बीच की दूरी $3$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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