$2 x^2+3 x y+2 y^2+10 x+5 y=0$ रेखा युग्म के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाले रेखा युग्म का समीकरण $..........$ है।

$23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ रेखाओं के युग्म और $2x + 3y + 5 = 0$ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$a, b, h > 0$ के लिए,यदि $a^2 x^2 + 2hxy + b^2 y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं में से एक का ढाल दूसरी रेखा के ढाल का दोगुना है,तो $\frac{h}{ab}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए $\lambda x^2-10 x y+12 y^2+5 x-16 y-3=0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है,है:

मान लीजिए $L_1, L_2$ समीकरण $4x^2-5xy+3y^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाएं हैं। मान लीजिए $L_3, L_4$ बिंदु $(4,3)$ से गुजरने वाली दो रेखाएं हैं,इस प्रकार कि $L_3$ और $L_4$ क्रमशः $L_1$ और $L_2$ पर लंब हैं। यदि $L_3$ और $L_4$ का संयुक्त समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ है,तो $af+bg+ch$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण ${x^2}(\sec^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2xy \tan \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं की प्रवणताओं (slopes) का अंतर ज्ञात कीजिए।