बिंदु hat{i}+2 hat{j}-hat{k} से गुजरने वाले औ | vedclass

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Question

(C) बिंदु $(1, 2, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ है।

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$r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$

Vedclass · Answer

(C) बिंदु $(1, 2, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ है।चूंकि समतल,$r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए दो समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ के सदिश गुणन (cross product) के समानांतर होगा।$\vec{n} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & -1 & 1 \ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(12+1) = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.अतः,दिक अनुपात $(a, b, c) = (-2, 7, 13)$ प्राप्त होते हैं।इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-2(x-1) + 7(y-2) + 13(z+1) = 0$.$-2x + 2 + 7y - 14 + 13z + 13 = 0$.$-2x + 7y + 13z + 1 = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - 7y - 13z = 1$ प्राप्त होता है।सदिश रूप में,यह $r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$ है।

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