व्यंजक $\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sin 20^{\circ}(4+\sec 20^{\circ})=$

यदि $\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$ और $\cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ है,तो $\tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = $

यदि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है, तो $x$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$ है, होगी

यदि $\cos x = \frac{2 \cos y - 1}{2 - \cos y}$ जहाँ $x, y \in (0, \pi)$,तो $\tan(x/2) \cot(y/2) =$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ को $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ किसी भी $x \in R$ के लिए,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ और $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,सभी $x > 0$ के लिए
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,सभी $x > 0$ के लिए
$(C)$ समीकरण $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ का $(0, \infty)$ में एक मूल है
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,सभी $n \geq 1$ और $x > 0$ के लिए