વિધેય f: N rightarrow N જે f(x) = begin{cases | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.જો $x_1$ અયુગ્મ અને $x_2$ યુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,તેથી $x_2 - x_1 = 2$. $x_1$ અ

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક અને વ્યાપ્ત છે

Vedclass · Answer

(C) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.જો $x_1$ અયુગ્મ અને $x_2$ યુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,તેથી $x_2 - x_1 = 2$. $x_1$ અયુગ્મ હોવાથી $x_1+1$ યુગ્મ થાય અને $x_2$ યુગ્મ હોવાથી $x_2-1$ અયુગ્મ થાય. આ $f(x_1) = f(x_2)$ સાથે વિરોધાભાસ છે.જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$.જો બંને યુગ્મ હોય,તો $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$.આમ,$f$ એક-એક છે.$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:કોઈપણ $y \in N$ માટે,જો $y$ અયુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y+1$ (જે યુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y+1) = (y+1)-1 = y$.જો $y$ યુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y-1$ (જે અયુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y-1) = (y-1)+1 = y$.દરેક $y \in N$ માટે,એવો $x \in N$ મળે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

વિધેય $f: N \rightarrow N$ જે $f(x) = \begin{cases} x+1, & x \text{ અયુગ્મ હોય} \\ x-1, & x \text{ યુગ્મ હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $f$ એ . . . . . . છે.

Similar Questions

વિધાન-$I$: ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$. તો $f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વિધાન-$II$: $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

નીચેનામાંથી કયું વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) છે પરંતુ એક-એક (injective) નથી?

જો ગણ $x$ માં $7$ ઘટકો હોય અને ગણ $y$ માં $8$ ઘટકો હોય,તો $x$ થી $y$ પરના એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની (bijections) સંખ્યા કેટલી થાય?

ધારો કે $f: R \to R$ એ $f(x) = \frac{x - m}{x - n}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $m \ne n$. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module