फलन f: N rightarrow N जो f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है:मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,अतः $x_2 - x_1

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एकैकी और आच्छादक है

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(C) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है:मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,अतः $x_2 - x_1 = 2$। चूँकि $x_1$ विषम है,$x_1+1$ सम है। चूँकि $x_2$ सम है,$x_2-1$ विषम है। यह $f(x_1) = f(x_2)$ का विरोधाभास करता है।यदि दोनों विषम हैं,तो $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$।यदि दोनों सम हैं,तो $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$।अतः,$f$ एकैकी है।यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है:किसी भी $y \in N$ के लिए,यदि $y$ विषम है,तो हम $x = y+1$ (जो सम है) चुन सकते हैं,तब $f(y+1) = (y+1)-1 = y$।यदि $y$ सम है,तो हम $x = y-1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,तब $f(y-1) = (y-1)+1 = y$।चूँकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद है कि $f(x) = y$,इसलिए $f$ आच्छादक है।अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

फलन $f: N \rightarrow N$ जो $f(x) = \begin{cases} x+1, & x \text{ विषम है} \\ x-1, & x \text{ सम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ . . . . . . है।

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यदि $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ और $g(x) = [x]$ है,तो $h(x) = g(f(x))$ का आवर्तनांक (period) क्या है? जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

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